2021. április 6., kedd

2017. május 1. rész

2017.május 1.rész

2017. május Matematika - középszint I.

1.
Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből.
23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből.
Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz érettségi vizsgát?
Mindkét nyelvből érettségiző diákok száma =
 2 pont 

2.
Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja –18.
Adja meg a sorozat ötödik tagját!
a5 =
 2 pont 

3.
Egy hatfős asztaltársaság tagjai: Anna, Balázs, Cili, Dezső, Egon és Fruzsina.
Mindegyikükpontosan három másik személyt ismer a társaságban.
Cili ismeri Dezsőt és Egont, Anna pedig nem ismeri sem Balázst, sem Dezsőt.
Szemléltesse gráffal a társaság ismeretségi viszonyait!
(Minden ismeretség kölcsönös.)

 4 pont 

4.
Adja meg azt az x valós számot, amelyre
 log2x =–3.
x (törtként)=
 2 pont 

5.
Az alábbi hozzárendelési utasítások közül adja meg annak a betűjelét, amely a 0-hoz 4-et,a 2-höz pedig 0-t rendel!
A: x ↦ 2x + 4
B: x ↦ 2x - 4
C: x ↦ -2x + 4
D: x ↦ -2x - 4

 2 pont 

6.
Egy háromszög 3 cm és 5 cm hosszú oldalai 60°-os szöget zárnak be egymással.
Hány centiméter hosszú a háromszög harmadik oldala?
Megoldását részletezze!
(Alkalmazzuk a koszinusz-tételt: c² = a² + b² - 2·a·b·cosγ)
c = √
 3 pont 

7.
Egy dobozban lévő színes golyókról szól az alábbi állítás:
 „A dobozban van olyan golyó, amelyik kék színű.”
Válassza ki az alábbiak közül az összes állítást, amely tagadása a fentinek!
 A: A dobozban minden golyó kék színű.
 B: A dobozban egyik golyó sem kék színű.
 C: A dobozban van olyan golyó, amelyik nem kék színű.
 D: A dobozban nincs olyan golyó, amelyik kék színű.
A megfelelő állítás(ok) betűjele(i):
 2 pont 

8.
Az alábbi ábrán a [–3; 2] intervallumon értelmezett x ↦ -2|x +-1| + 3 függvény grafikonja látható.
Adja meg a függvény értékkészletét!

Értékkészlet: [ ]
 2 pont 

9.
A Bocitej Kft. 1,0 literes tejesdobozának alakja négyzet alapú egyenes hasáb.
A doboztszínültig töltik tejjel. Hány cm magas a doboz, ha az alapnégyzet oldala 7 cm?
Megoldását részletezze!
(V=a²·m-ből számoljuk ki m-et, 1liter = 1dm³ = 1000cm³)
A doboz magassága: cm
 3 pont 

10.
Oldja meg az alábbi egyenletet a [0; 2π] intervallumon!
cos x = 0,866
Adatbevitel: 3π/2 = 3pi/2
x1 =
 1 pont 
x2 =
 1 pont 

11.
Ábrázolja az alábbi számegyenesenAdja meg intervallummal az |x| < 3 egyenlőtlenség valós megoldásait!
Adatbevitel: pl ]-2;5] intervallum.
x =
 2 pont 

12.
Egy kockával kétszer egymás után dobunk. Adja meg annak a valószínűségét, hogy a két dobott szám összege 7 lesz!
Válaszát indokolja!
p = k/n
(megoldás megadása tört alakban: pl 2/7.)
A keresett valószínűség:
 4 pont 


Matematika középfokú érettségi (2017.május)

NÉV:
EREDMÉNYEK:
Feladat Max pont Elért pont Paraméterek Bemenet
1. 2
2. 2
3. 4
4. 2
5. 2
6. 3
7. 2
8. 2
9. 3
10. 2
11. 2
12. 4
Össz. 30 - -






2021. április 5., hétfő

2018. május 2. rész

2018. május 8. Matematika - középszint 2.rész

13.
a) Péter és Pál szendvicset és ásványvizet vásárolt a büfében.
Péter két szendvicset és két ásványvizet vett 740 Ft-ért, Pál pedig három szendvicset és egy ásványvizet 890 Ft-ért.
Mennyibe kerül egy szendvics, és mennyibe kerül egy ásványvíz?
Megoldás:
1.
Jelölje a szendvics árát forintban x, a víz árát pedig y.
Kétismeretlenes egyenletrendszer:
·x + ·y = 740
·x + ·y = 890

 1 pont 
2.
Egyenletrendszer megoldása:
x =
 1 pont 
3.
Egyenletrendszer megoldása:
y =
 1 pont 
4. Szöveges válasz:
Egy szendvics ára = Ft, egy ásványvíz ára Ft.

 2 pont 
5. Ellenőrzés:
Az eredmények a feltételeknek.
 1 pont 
b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!
 1 - x = √x + 5
Megoldás:
1.
Kikötések:
gyök alatti mennyiségre: ≥0.
a gyök értékére vonatkozó: ≥0.

 1 pont 
2.
A másodfokú egyenlet négyzetreemelés és átrendezés után:
x² + *x - = 0

 1 pont 
3.
A másodfokú egyenlet megoldásai:
x1 = x2 =
 2 pont 
4.
Ezek közül megoldás.
 1 pont 

14.
Az ABCD derékszögű trapézban az A és a D csúcsnál van derékszög.
Az AB alap 11cm, a BC szár 12cm, a CD alap 5 cm hosszú.
a) Igazolja, hogy a trapéz B csúcsánál lévő szög nagysága 60°, és számítsa ki a trapéz területét!
Megoldás:
1.
x = cm
 1 pont 
2.
cos β =
 1 pont 
3.
β = °
 1 pont 
4.
Pitagorasz-tétellel:
m (2 tizedre)= cm
 2 pont 
5.
T = `((a+c)*m)/2` (1 tizedre)= cm²
 2 pont 
b) Számítsa ki az ABC háromszög C csúcsánál lévő szögét!
Megoldás:

1.
Pitagorasz-tétellel:
y (2 tizedre)= cm
 1 pont 
2.
Koszinusz-tétellel:
11² = y² + 12² -2· y· 12·cos γ
cos γ (2 tizedre)=
 2 pont 
3.
γ (egészre)= °
 1 pont 

15.
a) Egy számtani sorozat negyedik tagja 4, tizenhatodik tagja –2.
Számítsa ki a sorozat első 120 tagjának az összegét!
Megoldás:
1.
Kivonással és osztással meghatározható:
d =
 1 pont 
2.
an = a1 + (n - 1)·d képletből:
a1 =
 2 pont 
3.
`S_n = ((2*a_1 +(n-1)*d)*n)/2` képlettel,
vagy `a_n = a_1 + (n-1)*d` és `S_n=(a_1+a_n)/2*n` képletek révén:
S120 =
 2 pont 
b) Adott egy szakasz két végpontja: A(0; 4) és B(2; 3).
Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!
Megoldás:
1.
F = (felezőpont) = ( )
 2 pont 
2.
n = (normálvektor) = AB (kivonással)
n = ( )
 1 pont 
3.
e: (egyenes egyenlete) =
(szóközök és szorzásjelek nélkül, x együtthatója pozitív)

 2 pont 
c) Egy elsőfokú függvény a 0-hoz 4-et, a 2-hoz|-hez|-höz 3-at rendel.
Írja fel a függvény hozzárendelési szabályát!
Megoldás:
1.
Legyen az egyenes egyenlete: y = m·x + b alakú.
b =
 2 pont 
2.
m (4 tizedesre)=
 1 pont 
3.
Egyenes egyenlete:
y =
 1 pont 






2018. május 5 Matematika -középszint 3. rész


A 16 – 18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőtkell megoldania,
a kihagyott feladat sorszámát egyértelműen jelölje meg!

A NEM VÁLASZTOTT FELADAT SORSZÁMA:





16.
Anna dominókészletében a dominókövek egyik oldala egy vonallal két részre van osztva.
Az egyes részeken a pöttyök száma 0, 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 lehet.
A készletben minden lehetséges pöttyözésű dominóból pontosan egy darab van.
a) Hány olyan dominó van a készletben, amelyen a két részen lévő pöttyök számának szorzata prímszám?
Megoldás:
1.
Lehetséges esetek felsorolása:
(növekvő sorrendben)
; 1·; 1·;
 3 pont 
2.
Lehetséges esetek száma =
 1 pont 
A játékban két dominó akkor csatlakozhat egymáshoz, ha a két érintkező részen ugyanannyi pötty van.

Anna egy lapra elhelyezte dominókészletének azt a hat dominóját, amelyek mindkét részén 2, 3 és 1 pötty van.
Ezután összekötötte azokat a dominókat, amelyeket a játékban csatlakoztatni lehetne egymáshoz.
Az alábbi ábra a hat dominót és az összekötő vonalakat mutatja, de csak két részen adtuk meg a pöttyöket.
b) Rajzolja be a tíz üres részre a hiányzó pöttyöket az összekötésnek megfelelően!
Megoldás:
1.

A1 = A2 = B1 = B2 = adott
C1 = C2 = D1 = D2 =
E1 = E2 = F1 = F2 = adott

 4 pont 
Anna a teljes 28 darabos készletből kihúzta a 2-6-os dominót.
Ezután véletlenszerűenkihúz még egy dominót.
c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a másodiknak kihúzott dominót csatlakoztatni tudja az elsőhöz!
Megoldás:
1.
k = (kedvező) =
 2 pont 
2.
n = (összes) =
 2 pont 
3.
p = (valószínűség) = %
 1 pont 
Egy játékbemutatóra Anna és Balázs 1800 dominót szeretne felállítania földre úgy, hogy a legelsőt meglökve az összes dominó sorban eldőljön.
Anna egyedül 8 óra alatt, Balázs pedig 9 óra alatt építené meg a dominóláncot.
d) Ha Anna és Balázs – tartva a saját tempójukat – együtt dolgozna, akkor hány óra alatt végeznének az 1800 dominó felállításával?
Megoldás:
1.
Táblázat:
Anna Balázs
egyedül 8h 9h
egy óra alatt 1/8 1/ 9
x óra alatt x/8

 1 pont 
2.
Egyenlet: = 1
 2 pont 
3.
Megoldás = h
 1 pont 

17.
Egy jégkrémgyártó üzem fagylalttölcséreket rendel.
A csonkakúp alakú fagylalttölcsér belső méretei: felső átmérő 7 cm, alsó átmérő 4 cm, magasság 8 cm.
a) Számítsa ki, hogy a tölcsérbe legfeljebb hány cm³ jégkrém fér el, ha a jégkrém – a csomagolás miatt – csak a felső perem síkjáig érhet!
Megoldás:
1.
A csonkakúp alakú tölcsér alapköreinek sugarai:
R = cm,
r = cm.
 1 pont 
2.
`V = ((R^2+ R*r+r^2)*pi*m)/3`
V (egész értékre)= cm³
 2 pont 
Ennek a tölcsérnek létezik olyan változata is, amelynek a belső felületét vékony csokoládéréteggel vonják be.
1 kg csokoládé kb. 0,7 m² felület bevonásához elegendő.
b) Számítsa ki, hogy hány kilogramm csokoládéra van szükség 1000 darab tölcsérbelső felületének bevonásához! Válaszát egész kilogrammra kerekítve adja meg!
Megoldás:
1.
Pitagorasz-tétellel:
`(R-r)^2+m^2=a^2`
a = (alkotó) (2 tizedesre)= cm
 2 pont 
2.
Tpalást =
`(R+r)*pi*a`
Tpalást (1 tizedre)= cm²
 1 pont 
3.
Talapkör (1 tizedre)= cm²
 1 pont 
4.
T1000 (2 tizedre)=
 3 pont 
5.
Ehhez kg csokoládé szükséges.
 2 pont 
Egy fagylaltozóban hatféle ízű fagylalt kapható: vanília, csokoládé, puncs, eper, málna és dió.
Andrea olyan háromgombócos fagylaltot szeretne venni tölcsérbe, amely kétféle ízű fagylaltból áll.
c) Hányféle különböző háromgombócos fagylaltot kérhet, ha számít a gombócok sorrendje is? (Például a dió-dió-vanília más kérésnek számít, mint a dió-vanília-dió.)
Megoldás:
1.
Ha az első két gombóc egyforma, akkor a lehetőségek száma =
 2 pont 
2.
Ha az első két gombóc különböző, akkor a lehtőségek száma =
 2 pont 
3.
Az összes lehetőségek száma =
 1 pont 

18.
Egy 30 fős osztályban felmérést készítettek a diákok internetezési szokásairól.
Az egyik kérdés az volt, hogynaponta átlagosan ki hány órát használja az internetet a szabadidejében.
A válaszok alapján az itt látható kördiagram készült.

a) Hány olyan diák van az osztályban, aki naponta legalább 2 órát használja az internetet a szabadidejében?
Megoldás:
1.
Egy diáknak °-os középponti szög felel meg.
 1 pont 
2.
Legalább két órát internetezőknek megfelelő középponti szög értéke = °
 1 pont 
3.
Legalább két órát internetezők száma =
 1 pont 
Egy másik kérdés az volt, hogy a mobiltelefon, a laptop, illetve a táblagép (tablet) közül melyiket használják internetezésre.
A mobiltelefont mind a 30-an, a laptopot 24-en, a táblagépet 16-an jelölték meg.
A felmérésből az is kiderült, hogy a mobiltelefon, a laptop és a táblagép közül pontosan kétféle eszközt 14 diák használ.
b) Hányan használják mind a háromféle eszközt internetezésre?
Megoldás:
1.
Olyan diákok száma, akik egyetlen egy eszközt sem használnak =
 1 pont 
2.
Használt eszközök össz-száma =
 1 pont 
3.
Legyen x = a mindhárom eszközt használók száma.
Pontosan 2féle eszközt használók száma =
 1 pont 
4.
Pontosan egyféle eszközt használók száma =
Összlétszám - pontosan 2féle eszközt használók száma - mindhárom eszközt használók száma =
- x
 1 pont 
5.
Egyenlet: ( – x)·1 + ·2 + x·3 = 70
 2 pont 
6.
x =
 2 pont 
A vezeték nélküli hálózati kapcsolatot létrehozó egységek (wifi routerek) 3%-a 2 évenbelül meghibásodik (ezt úgy tekinthetjük, hogy 0,03 annak a valószínűsége, hogy egy készülék meghibásodik 2 év alatt).
A meghibásodott eszközt garanciálisan kicserélik.
Az iskola 20 ilyen eszközt vásárolt.
c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy 2 év alatt legfeljebb egy hibásodik meg a vásárolt eszközök közül?
Megoldás:
1.
Alkalmazzuk a binomiális eloszlás képletét többször:
`p_i =([n],[k])*p^k*(1-p)^(n-k)`
p0 (2 tizedre)=
 2 pont 
2.
p1 (2 tizedre)=
 2 pont 
3.
p = p0 + p1 (2 tizedre)=
 2 pont 

Matematika középfokú érettségi (2018.május)

NÉV:
EREDMÉNYEK:
Feladat Max pontszám Elért pontszám Paraméterek
13. 11
14. 11
15. 14
16. 17
17. 17
18. 17
Össz. 70 -