2021. április 5., hétfő

2018. május 2. rész

2018. május 8. Matematika - középszint 2.rész

13.
a) Péter és Pál szendvicset és ásványvizet vásárolt a büfében.
Péter két szendvicset és két ásványvizet vett 740 Ft-ért, Pál pedig három szendvicset és egy ásványvizet 890 Ft-ért.
Mennyibe kerül egy szendvics, és mennyibe kerül egy ásványvíz?
Megoldás:
1.
Jelölje a szendvics árát forintban x, a víz árát pedig y.
Kétismeretlenes egyenletrendszer:
  ·x + ·y = 740
  ·x + ·y = 890

 1 pont 
2.
Egyenletrendszer megoldása:
x =
 1 pont 
3.
Egyenletrendszer megoldása:
y =
 1 pont 
4. Szöveges válasz:
Egy szendvics ára = Ft, egy ásványvíz ára Ft.

 2 pont 
5. Ellenőrzés:
Az eredmények a feltételeknek.
 1 pont 
b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!
 1 - x = √x + 5
Megoldás:
1.
Kikötések:
gyök alatti mennyiségre: ≥0.
a gyök értékére vonatkozó: ≥0.

 1 pont 
2.
A másodfokú egyenlet négyzetreemelés és átrendezés után:
x² + *x - = 0

 1 pont 
3.
A másodfokú egyenlet megoldásai:
x1 = x2 =
 2 pont 
4.
Ezek közül megoldás.
 1 pont 

14.
Az ABCD derékszögű trapézban az A és a D csúcsnál van derékszög.
Az AB alap 11cm, a BC szár 12cm, a CD alap 5 cm hosszú.
a) Igazolja, hogy a trapéz B csúcsánál lévő szög nagysága 60°, és számítsa ki a trapéz területét!
Megoldás:
1.
x = cm
 1 pont 
2.
cos β =
 1 pont 
3.
β = °
 1 pont 
4.
Pitagorasz-tétellel:
m (2 tizedre)= cm
 2 pont 
5.
T = `((a+c)*m)/2` (1 tizedre)= cm²
 2 pont 
b) Számítsa ki az ABC háromszög C csúcsánál lévő szögét!
Megoldás:

1.
Pitagorasz-tétellel:
y (2 tizedre)= cm
 1 pont 
2.
Koszinusz-tétellel:
11² = y² + 12² -2· y· 12·cos γ
cos γ (2 tizedre)=
 2 pont 
3.
γ (egészre)= °
 1 pont 

15.
a) Egy számtani sorozat negyedik tagja 4, tizenhatodik tagja –2.
Számítsa ki a sorozat első 120 tagjának az összegét!
Megoldás:
1.
Kivonással és osztással meghatározható:
d =
 1 pont 
2.
an = a1 + (n - 1)·d képletből:
a1 =
 2 pont 
3.
`S_n = ((2*a_1 +(n-1)*d)*n)/2` képlettel,
vagy `a_n = a_1 + (n-1)*d` és `S_n=(a_1+a_n)/2*n` képletek révén:
S120 =
 2 pont 
b) Adott egy szakasz két végpontja: A(0; 4) és B(2; 3).
Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!
Megoldás:
1.
F = (felezőpont) = ( )
 2 pont 
2.
n = (normálvektor) = AB (kivonással)
n = ( )
 1 pont 
3.
e: (egyenes egyenlete) =
(szóközök és szorzásjelek nélkül, x együtthatója pozitív)

 2 pont 
c) Egy elsőfokú függvény a 0-hoz 4-et, a 2-hoz|-hez|-höz 3-at rendel.
Írja fel a függvény hozzárendelési szabályát!
Megoldás:
1.
Legyen az egyenes egyenlete: y = m·x + b alakú.
b =
 2 pont 
2.
m (4 tizedesre)=
 1 pont 
3.
Egyenes egyenlete:
y =
 1 pont 





2018. május 5 Matematika -középszint 3. rész


A 16 – 18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőtkell megoldania,
a kihagyott feladat sorszámát egyértelműen jelölje meg!

A NEM VÁLASZTOTT FELADAT SORSZÁMA:





16.
Anna dominókészletében a dominókövek egyik oldala egy vonallal két részre van osztva.
Az egyes részeken a pöttyök száma 0, 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 lehet.
A készletben minden lehetséges pöttyözésű dominóból pontosan egy darab van.
a) Hány olyan dominó van a készletben, amelyen a két részen lévő pöttyök számának szorzata prímszám?
Megoldás:
1.
Lehetséges esetek felsorolása:
(növekvő sorrendben)
1·; 1·; 1·;
 3 pont 
2.
Lehetséges esetek száma =
 1 pont 
A játékban két dominó akkor csatlakozhat egymáshoz, ha a két érintkező részen ugyanannyi pötty van.

Anna egy lapra elhelyezte dominókészletének azt a hat dominóját, amelyek mindkét részén 2, 3 és 1 pötty van.
Ezután összekötötte azokat a dominókat, amelyeket a játékban csatlakoztatni lehetne egymáshoz.
Az alábbi ábra a hat dominót és az összekötő vonalakat mutatja, de csak két részen adtuk meg a pöttyöket.
b) Rajzolja be a tíz üres részre a hiányzó pöttyöket az összekötésnek megfelelően!
Megoldás:
1.

A1 = A2 = B1 = B2 = adott
C1 = C2 = D1 = D2 =
E1 = E2 = F1 = F2 = adott

 4 pont 
Anna a teljes 28 darabos készletből kihúzta a 2-6-os dominót.
Ezután véletlenszerűenkihúz még egy dominót.
c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a másodiknak kihúzott dominót csatlakoztatni tudja az elsőhöz!
Megoldás:
1.
k = (kedvező) =
 2 pont 
2.
n = (összes) =
 2 pont 
3.
p = (valószínűség) = %
 1 pont 
Egy játékbemutatóra Anna és Balázs 1800 dominót szeretne felállítania földre úgy, hogy a legelsőt meglökve az összes dominó sorban eldőljön.
Anna egyedül 8 óra alatt, Balázs pedig 9 óra alatt építené meg a dominóláncot.
d) Ha Anna és Balázs – tartva a saját tempójukat – együtt dolgozna, akkor hány óra alatt végeznének az 1800 dominó felállításával?
Megoldás:
1.
Táblázat:
Anna Balázs
egyedül 8h 9h
egy óra alatt 1/8 1/ 9
x óra alatt x/8

 1 pont 
2.
Egyenlet: = 1
 2 pont 
3.
Megoldás = h
 1 pont 

17.
Egy jégkrémgyártó üzem fagylalttölcséreket rendel.
A csonkakúp alakú fagylalttölcsér belső méretei: felső átmérő 7 cm, alsó átmérő 4 cm, magasság 8 cm.
a) Számítsa ki, hogy a tölcsérbe legfeljebb hány cm³ jégkrém fér el, ha a jégkrém – a csomagolás miatt – csak a felső perem síkjáig érhet!
Megoldás:
1.
A csonkakúp alakú tölcsér alapköreinek sugarai:
R = cm,
r = cm.
 1 pont 
2.
`V = ((R^2+ R*r+r^2)*pi*m)/3`
V (egész értékre)= cm³
 2 pont 
Ennek a tölcsérnek létezik olyan változata is, amelynek a belső felületét vékony csokoládéréteggel vonják be.
1 kg csokoládé kb. 0,7 m² felület bevonásához elegendő.
b) Számítsa ki, hogy hány kilogramm csokoládéra van szükség 1000 darab tölcsérbelső felületének bevonásához! Válaszát egész kilogrammra kerekítve adja meg!
Megoldás:
1.
Pitagorasz-tétellel:
`(R-r)^2+m^2=a^2`
a = (alkotó) (2 tizedesre)= cm
 2 pont 
2.
Tpalást =
`(R+r)*pi*a`
Tpalást (1 tizedre)= cm²
 1 pont 
3.
Talapkör (1 tizedre)= cm²
 1 pont 
4.
T1000 (2 tizedre)= m²
 3 pont 
5.
Ehhez kg csokoládé szükséges.
 2 pont 
Egy fagylaltozóban hatféle ízű fagylalt kapható: vanília, csokoládé, puncs, eper, málna és dió.
Andrea olyan háromgombócos fagylaltot szeretne venni tölcsérbe, amely kétféle ízű fagylaltból áll.
c) Hányféle különböző háromgombócos fagylaltot kérhet, ha számít a gombócok sorrendje is? (Például a dió-dió-vanília más kérésnek számít, mint a dió-vanília-dió.)
Megoldás:
1.
Ha az első két gombóc egyforma, akkor a lehetőségek száma =
 2 pont 
2.
Ha az első két gombóc különböző, akkor a lehtőségek száma =
 2 pont 
3.
Az összes lehetőségek száma =
 1 pont 

18.
Egy 30 fős osztályban felmérést készítettek a diákok internetezési szokásairól.
Az egyik kérdés az volt, hogynaponta átlagosan ki hány órát használja az internetet a szabadidejében.
A válaszok alapján az itt látható kördiagram készült.

a) Hány olyan diák van az osztályban, aki naponta legalább 2 órát használja az internetet a szabadidejében?
Megoldás:
1.
Egy diáknak °-os középponti szög felel meg.
 1 pont 
2.
Legalább két órát internetezőknek megfelelő középponti szög értéke = °
 1 pont 
3.
Legalább két órát internetezők száma = fő
 1 pont 
Egy másik kérdés az volt, hogy a mobiltelefon, a laptop, illetve a táblagép (tablet) közül melyiket használják internetezésre.
A mobiltelefont mind a 30-an, a laptopot 24-en, a táblagépet 16-an jelölték meg.
A felmérésből az is kiderült, hogy a mobiltelefon, a laptop és a táblagép közül pontosan kétféle eszközt 14 diák használ.
b) Hányan használják mind a háromféle eszközt internetezésre?
Megoldás:
1.
Olyan diákok száma, akik egyetlen egy eszközt sem használnak = fő
 1 pont 
2.
Használt eszközök össz-száma =
 1 pont 
3.
Legyen x = a mindhárom eszközt használók száma.
Pontosan 2féle eszközt használók száma = fő
 1 pont 
4.
Pontosan egyféle eszközt használók száma =
Összlétszám - pontosan 2féle eszközt használók száma - mindhárom eszközt használók száma =
- x
 1 pont 
5.
Egyenlet: ( – x)·1 + ·2 + x·3 = 70
 2 pont 
6.
x = fő
 2 pont 
A vezeték nélküli hálózati kapcsolatot létrehozó egységek (wifi routerek) 3%-a 2 évenbelül meghibásodik (ezt úgy tekinthetjük, hogy 0,03 annak a valószínűsége, hogy egy készülék meghibásodik 2 év alatt).
A meghibásodott eszközt garanciálisan kicserélik.
Az iskola 20 ilyen eszközt vásárolt.
c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy 2 év alatt legfeljebb egy hibásodik meg a vásárolt eszközök közül?
Megoldás:
1.
Alkalmazzuk a binomiális eloszlás képletét többször:
`p_i =([n],[k])*p^k*(1-p)^(n-k)`
p0 (2 tizedre)=
 2 pont 
2.
p1 (2 tizedre)=
 2 pont 
3.
p = p0 + p1 (2 tizedre)=
 2 pont 

Matematika középfokú érettségi (2018.május)

NÉV:
EREDMÉNYEK:
Feladat Max pontszám Elért pontszám Paraméterek
13. 11
14. 11
15. 14
16. 17
17. 17
18. 17
Össz. 70 -





Bejegyezte: dátum: