2018. május 8. Matematika - középszint 2.rész
13.
a)
Péter és Pál szendvicset és ásványvizet vásárolt a büfében.
Péter két szendvicset és két ásványvizet vett 770 Ft-ért, Pál pedig három szendvicset és egy ásványvizet 905 Ft-ért.
Mennyibe kerül egy szendvics, és mennyibe kerül egy ásványvíz?
Péter két szendvicset és két ásványvizet vett 770 Ft-ért, Pál pedig három szendvicset és egy ásványvizet 905 Ft-ért.
Mennyibe kerül egy szendvics, és mennyibe kerül egy ásványvíz?
Megoldás:
1.
Jelölje a szendvics árát forintban x, a víz árát pedig y.
Kétismeretlenes egyenletrendszer:
·x + ·y = 770
·x + ·y = 905
Egyenletrendszer megoldása:
x =
Egyenletrendszer megoldása:
y =
Egy szendvics ára = Ft, egy ásványvíz ára Ft.
Az eredmények a feltételeknek.
1.
Jelölje a szendvics árát forintban x, a víz árát pedig y.
Kétismeretlenes egyenletrendszer:
·x + ·y = 770
·x + ·y = 905
1 pont
2. Egyenletrendszer megoldása:
x =
1 pont
3. Egyenletrendszer megoldása:
y =
1 pont
4. Szöveges válasz: Egy szendvics ára = Ft, egy ásványvíz ára Ft.
2 pont
5. Ellenőrzés: Az eredmények a feltételeknek.
1 pont
b)
Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!
1 - x = √x + 29
1 - x = √x + 29
Megoldás:
1.
Kikötések:
gyök alatti mennyiségre: ≥0.
a gyök értékére vonatkozó: ≥0.
A másodfokú egyenlet négyzetreemelés és átrendezés után:
x² + *x - = 0
A másodfokú egyenlet megoldásai:
x1 = x2 =
Ezek közül megoldás.
1.
Kikötések:
gyök alatti mennyiségre: ≥0.
a gyök értékére vonatkozó: ≥0.
1 pont
2. A másodfokú egyenlet négyzetreemelés és átrendezés után:
x² + *x - = 0
1 pont
3.A másodfokú egyenlet megoldásai:
x1 = x2 =
2 pont
4. Ezek közül megoldás.
1 pont
14.
Az ABCD derékszögű trapézban az A és a D csúcsnál van derékszög.
Az AB alap 13cm, a BC szár 16cm, a CD alap 5 cm hosszú.
Az AB alap 13cm, a BC szár 16cm, a CD alap 5 cm hosszú.
a)
Igazolja, hogy a trapéz B csúcsánál lévő szög nagysága 60°,
és számítsa ki a trapéz területét!
Megoldás:
1.
x = cm
cos β =
β = °
Pitagorasz-tétellel:
m (2 tizedre)= cm
T = (a+c)⋅m2 (1 tizedre)= cm²
1.
x = cm
1 pont
2. cos β =
1 pont
3. β = °
1 pont
4. Pitagorasz-tétellel:
m (2 tizedre)= cm
2 pont
5. T = (a+c)⋅m2 (1 tizedre)= cm²
2 pont
b)
Számítsa ki az ABC háromszög C csúcsánál lévő szögét!
Megoldás:
1.
Pitagorasz-tétellel:
y (2 tizedre)= cm
Koszinusz-tétellel:
13² = y² + 16² -2· y· 16·cos γ
cos γ (2 tizedre)=
γ (egészre)= °
1.
Pitagorasz-tétellel:
y (2 tizedre)= cm
1 pont
2. Koszinusz-tétellel:
13² = y² + 16² -2· y· 16·cos γ
cos γ (2 tizedre)=
2 pont
3. γ (egészre)= °
1 pont
15.
a)
Egy számtani sorozat negyedik tagja 12, tizenhatodik tagja 6.
Számítsa ki a sorozat első 120 tagjának az összegét!
Számítsa ki a sorozat első 120 tagjának az összegét!
Megoldás:
1.
Kivonással és osztással meghatározható:
d =
an = a1 + (n - 1)·d képletből:
a1 =
Sn=(2⋅a1+(n-1)⋅d)⋅n2 képlettel,
vagy an=a1+(n-1)⋅d és Sn=a1+an2⋅n képletek révén:
S120 =
1.
Kivonással és osztással meghatározható:
d =
1 pont
2. an = a1 + (n - 1)·d képletből:
a1 =
2 pont
3. Sn=(2⋅a1+(n-1)⋅d)⋅n2 képlettel,
vagy an=a1+(n-1)⋅d és Sn=a1+an2⋅n képletek révén:
S120 =
2 pont
b)
Adott egy szakasz két végpontja: A(0; 5) és B(2; 3).
Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!
Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!
Megoldás:
1.
F = (felezőpont) = ( )
n = (normálvektor) = AB (kivonással)
n = ( )
e: (egyenes egyenlete) =
(szóközök és szorzásjelek nélkül, x együtthatója pozitív)
1.
F = (felezőpont) = ( )
2 pont
2.n = (normálvektor) = AB (kivonással)
n = ( )
1 pont
3. e: (egyenes egyenlete) =
(szóközök és szorzásjelek nélkül, x együtthatója pozitív)
2 pont
c)
Egy elsőfokú függvény a 0-hoz 4-et, a 7-hoz|-hez|-höz 3-at rendel.
Írja fel a függvény hozzárendelési szabályát!
Írja fel a függvény hozzárendelési szabályát!
Megoldás:
1.
Legyen az egyenes egyenlete: y = m·x + b alakú.
b =
m (4 tizedesre)=
Egyenes egyenlete:
y =
1.
Legyen az egyenes egyenlete: y = m·x + b alakú.
b =
2 pont
2. m (4 tizedesre)=
1 pont
3. Egyenes egyenlete:
y =
1 pont