2021. március 24., szerda

2019. május 2. rész

2019. május 5. Matematika -középszint 2.rész

13.
a) Hány olyan háromjegyű egész szám van, amelyre igaz az alábbi egyenlőtlenség?
 `x/3+x/6>=x/4+`230
Megoldás:
1. Közös nevezőre hozás:
 `x/3+x/6>=x/4+`230
·x + ·x ≥ ·x +
12 12
 2 pont 
2. Összevonás, közös nevezővel való beszorzás után:
x ≥
 1 pont 
3. Megoldás:
ilyen háromjegyű szám van.
 1 pont 
b) Oldja meg akövetkezőegyenletet a valós számok halmazán!
 `3*4^x+ 4^(x+1)= `896
Megoldás:
1. Összegkitevő megszűntetése:
3·4x+ ·4x = 896
 1 pont 
2. Összevonás:
·4x = 896
 1 pont 
3. Átrendezés:
4x =
 2 pont 
4. Exponenciális egyenlet megoldás:
x (2 tizedesre)=
 2 pont 

14.
Adott az f: R → R, f (x) = x² + 4x + 3 függvény.
a) Írja fel két elsőfokú tényező szorzataként az x² + 4x + 3 kifejezést!
Megoldás:
1. Az a·(x - x1)(x - x2) = 0 képletbe való behelyettesítés:
(x + )(x + ) = 0
 2 pont 
b) A P(–6,5; y) pont illeszkedik az f grafikonjára. Számítsa ki y értékét!
Megoldás:
1. A hozzárendelési szabályba való ehelyettesítés után:
y (2 tizedesre)=
 2 pont 
c) Az alábbi grafikonok közül válassza ki az f függvény grafikonját (karikázza be a megfelelőbetűt), és határozza meg az f értékkészletét!




A. B. C. D.
Megoldás:
1. Teljes négyzetté alakítás után a megfelelő grafikon kiválasztása:

 1 pont 
2. ÉK = [; ∞[
 2 pont 
Adott a g: R → R, g(x) = x² −4x + 3 függvény.
Az a három pont, ahol a g grafikonja metszi a koordinátatengelyeket, egy háromszöget határoz meg.
d) Határozza meg ennek a háromszögnek a területét!
Megoldás:
1. Legyen az A pont a g függvénynek az y tengellyel alkotott metszéspontja (g(0) = ?).
A = (0 ; )
 2 pont 
2. Legyen B és C pont a g függvény zérushelyei (g(x) = 0).
B = ( ; 0) és C = ( ; 0).
 3 pont 
3. Az ABC háromszög területének meghatározása (T = a·m/2)
T =
 2 pont 

15.
Az ABCD négyzet oldalának hossza 12 egység.
A négyzet belsejében kijelöltük az E pontot úgy, hogy BE = CE = 12 egység legyen (lásd az ábrát).
a) Számítsa ki az A és E pontok távolságát!
Megoldás:
1.Rajzoljunk be egy vízszintes segédvonalat (FG) és rajzoljuk be a keresett szakaszt (AE = x)!
Az FG-t az E kettébontja. Legyen FE = y, és EG = z.

y-t határozzuk meg Pitagorasz-tétellel!
y (2 tizedesre)= cm
 1 pont 
2. x-t határozzuk meg kivonás segítségével!
x (2 tizedesre)= cm
 2 pont 
3. z-t szintén Pitagorasz-tétellel határozhatjuk meg.
z (2 tizedesre)= cm
 2 pont 

Egy bronzból készült, szabályos négyoldalú gúla alakú tömör test (piramis) minden éle 10 cm hosszúságú.
b) Számítsa ki a gúla tömegét, ha 1 dm³ bronz tömege 8 kg!
Megoldás:
1. Készítsünk megfelelő ábrát!

Határozzuk meg az x értékét! (Az alapnégyzet átlójának a fele.)
x (2 tizedesre)= cm
 2 pont 
2. Határozzuk meg m-t Pitagorasz-tétellel!
m (2 tizedesre)= cm
 1 pont 
3. Helyettesítsünk be a térfogatképletbe! (`V = (a^2*m)/3`)
V (2 tizedesre)= cm³
 2 pont 
4. Számoljuk ki a sűrűség segítségével a tömeget! (ϱ = m/V)
m (1 tizedesre)= kg
 2 pont 





2019. május 5 Matematika - középszint 3. rész


A 16 – 18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőtkell megoldania,
a kihagyott feladat sorszámát egyértelműen jelölje meg!

A NEM VÁLASZTOTT FELADAT SORSZÁMA:





16.
Péter elhatározza, hogy összegyűjt 3,5 millió Ft-ot egy használt elektromos autó vásárlására, mégpedig úgy, hogy havonta egyre több pénzt tesz félre a takarékszámláján.
Az első hónapban 50 000 Ft-ot tesz félre, majd minden hónapban 1000 Ft-tal többet, mint az azt megelőző hónapban.
(A számlán gyűjtött összeg kamatozásával Péter nem számol.)
a) Össze tud-e így gyűjteni Péter 4 év alatt 3,5 millió forintot?
Megoldás:
1. Váltsuk át az éveket hónapokra!
4 év = hónap.
 2 pont 
2. Határozzuk meg az Sn értékét az összegképlet segítségével!
Sn = ezer Ft.
 2 pont 
3. Válasz:
Tehát 4 év 3,5 millió Ft összegyűjtésére.

 1 pont 
A világon gyártott elektromos autók számának 2012 és 2017 közötti alakulását az alábbi táblázat mutatja.
év 2012 2013 2014 2015 2016 2017
elektromos autók
száma (ezerre kerekítve)		 110 000 221 000 409 000 727 000 1 186 000 1 928 000
b) Szemléltesse a táblázat adatait oszlopdiagramon!
Megoldás:

Ez az ábra megfelelő?

 3 pont 
Péter az előző táblázat adatai alapján olyan matematikai modellt alkotott, amely az elektromosautók számát exponenciálisan növekedőnek tekinti.
E szerint, ha a 2012 óta elteltévek száma x, akkor az elektromos autók számát (millió darabra) megközelítőleg az f (x) = 0,122·20,822x összefüggés adja meg.
c) A modell alapján számolva melyik évben érheti el az elektromos autók száma a 25 millió darabot?
Megoldás:
1. Behelyettesítés és rendezés után:
20,822x (2 tizedesre)=
 2 pont 
2. Exponenciális egyenlet megoldása logaritmus alkalmazásával:
x (1 tizedesre)≈
 2 pont 
3. Évszám megállapítása:
A modell szerint az elektromos autók száma -ben éri el a 25 milliót.
 1 pont 

Egy elektromos autókat gyártó cég négy különböző típusú autót gyárt.
A készülő reklámfüzet fedőlapjára az négyféle típus közül egy vagy több (akár mind az négy) autótípus képét szeretné elhelyezni a grafikus.
d) Hány lehetőség közül választhat a tervezés során?
(Két lehetőség különböző, ha az egyikben szerepel olyan autótípus, amely a másikban nem.)
Megoldás:
1. Összes lehetőség szám =
 2 pont 
2. Kedvezőtlen lehetőségek száma =
 1 pont 
3. Kedvező lehetőségek száma =
 1 pont 

17.
A Föld teljes vízkészlete (jég, víz és vízgőz) folyékony halmazállapotban közel 1400 millió km³ lenne.
Ennek a vízkészletnek csupán 3%-a édesvíz, melynek valójában mindössze 20%-a folyékony halmazállapotú (a többi főleg a sarkvidék jégtakarójában található fagyott, szilárd állapotban).
a) Számítsa ki, hogy hány kilométer lenne annak a legkisebb gömbnek a sugara, amelybe összegyűjthetnénk a Föld folyékony édesvízkészletét!
Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg!
Megoldás:
1. A Föld folyékony állapotú édesvízkészlete =
V (2 tizedesre)= millió km³
 3 pont 
2. A kérdéses gömb térfogatképletéből (`V = (4*r^3*pi)/3`) a sugár:
r = km.
 3 pont 

Az ábrán egy környezetvédő szervezet logójának ki nem színezett terve látható.
A logó kilenc tartományát három színnel (sárga, kék és zöld) szeretnénk kiszínezni úgy, hogy a szomszédos tartományok különböző színűek legyenek.
(Két tartomány szomszédos, ha a határvonalaiknak van közös pontja.
Egy-egy tartomány színezéséhez egy színt használhatunk.)
b) Hányféleképpen lehet a logót a feltételeknek megfelelően kiszínezni?
Megoldás:
1. Tegyük fel, hogy a középső kör sárga színű.
Ekkor a szirmok szine -féle lehet.
 1 pont 
2. A szirmok körüli tartomány ilyenkor -féle lehet.
 1 pont 
3. A külső tartomány ebben az esetben -féle lehet.
 2 pont 
4. Mivel a belső kör is lehet más színű is, ezért az összes lehetőségek száma: -féle lehet.
 2 pont 

Egy iskolai italautomata meghibásodott, és véletlenszerűen ad szénsavas, illetve szénsavmentes vizet.
A diákok tapasztalata szerint, ha valaki szénsavmentes vizet kér, akkor csak 0,8 a valószínűsége annak, hogy valóban szénsavmentes vizet kap.
Anna a hét mind az öt munkanapján egy-egy szénsavmentes vizet szeretne vásárolni az automatából, így mindennap az ennek megfelelő gombot nyomja meg.
c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább négy napon valóban szénsavmentesvizet ad az automata?
Megoldás:
1. Alkalmazzuk a binomiális eloszlás képletét: `p_i = ([n],[k])*p^k*(1-p)^(n-k)`, ahol
p =
 1 pont 
2. p4 (2 tizedesre)=
 2 pont 
3. p5 (2 tizedesre)=
 1 pont 
4. p = p4 + p5 (2 tizedesre)=
 1 pont 

18.

Az ábrán egy kis múzeum alaprajzát látjuk.
A múzeumtermei közötti kapcsolatot gráffal is szemléltethetjük.
A gráf pontjai a termek, élei pedig az átjárók a termek között.
(Egy él egy átjárót szemléltet két terem között.)
a) Rajzolja fel a múzeum termeit és átjáróit szemléltető gráfot!
Megoldás:
1. A megfelelő gráf:

 2 pont 
A múzeumba háromféle belépőjegyet lehet váltani:
Teljes árú jegy 400 Ft
Kedvezményes jegy
(gyerek, diák, pedagógus, nyugdíjas)		 250 Ft
Fotójegy
(belépőjegy és fényképezőgép-használat)		 500 Ft
Januárban négyszer annyi kedvezményes belépőjegyet adtak el, mint teljes árú jegyet, továbbá az eladott fotójegyek száma az eladott teljes árú jegyek számának 12,5%-a volt.
A múzeum belépőjegy-eladásból származó bevétele januárban 912 600 Ft volt.
b) Hány belépőjegyet adtak el januárban összesen?
Megoldás:
1. A januárban eladott teljes árú jegyek számát jelölje x.
⋅x⋅250 + x⋅400 + ⋅x⋅500 = 912 600.
 2 pont 
2. x =
 1 pont 
3. Összesen jegyet adtak el.
 1 pont 

Csilla, Dezső, Emese, Feri és Gyöngyi délelőtt 10-re beszéltek meg találkozót a múzeum előtt.
Sorban egymás után érkeznek (különböző időpontokban), véletlenszerűen.
c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb egy lánynak kell várakoznia fiúra?
Megoldás:
1. Ha csak a nemeket különböztetjük meg egymástól, akkor F = fiú, L = lány.
Összes lehetséges esetek száma =
n =
 2 pont 
2. A kedvező lehetséges esetek felsorolása után:
k =
 2 pont 
3. A keresett valószínűség:
p = %
 2 pont 

A kiállításon több gondolkodtató, minimalista kép is szerepel.
Dezső szerint az ábrán látható, csatlakozó félköröket ábrázolókép címe azért „Egyenlőség”, mert a felső és az alsó görbe vonalhossza egyenlő.
A felső görbét alkotó két egyforma félkör átmérőjének összege 48 cm.
Az alsó görbét alkotó két félkör átmérőjének összege szintén 48 cm.
d) Igaz-e Dezső sejtése, hogy a két görbe vonal hossza egyenlő?
Megoldás:
1. A felső görbe két félkörívének hossza összesen: ·π
 2 pont 
2. Az alsó görbe két félkörívének hossza összesen: ·π
 2 pont 
3. Tehát Dezsőnek
 1 pont 

Matematika középfokú érettségi (2019.május)

NÉV:
EREDMÉNYEK:
Feladat Max pontszám Elért pontszám Paraméterek
13. 10
14. 14
15. 12
16. 17
17. 17
18. 17
Össz. 70 -





Bejegyezte: dátum:

2021. március 16., kedd

2018. május 1. rész

2018.május 1.rész

2018. május Matematika - középszint I.

1.
Egy 80 grammos csokoládé tömegének 35 százaléka kakaó.
Hány gramm kakaó van ebben a csokoládéban?
Válasz = gramm
 2 pont 

2.
Írja fel a {2; 3; 4} halmaznak azokat a részhalmazait, melyeknek a 2 eleme és a 4 nem eleme!
Válasz = {} , {}
 2 pont 

3.
Ma kedd van. A hét melyik napja lesz 100 nap múlva?

 2 pont 

4.
Egy 50 cm × 50 cm × 50 cm belső méretű (téglatest alakú) akváriumot vízzel töltünk fel.
Mennyibe kerül a feltöltéshez szükséges víz, ha 1 köbméter vízára 220 Ft?
Megoldását részletezze!
V = m³
 2 pont 
Ár = Ft
 1 pont 

5.
Egy héttagú társaság hat tagjáról tudjuk, hogy hány ismerőse van a társaságban: 1, 2, 3,4, 4, 5.
Rajzoljon erről a társaságról egy lehetséges ismeretségi gráfot, és adja meg a hetedik ember (G) ismerőseinek számát ebben az esetben!
(Az ismeretségek kölcsönösek.)

 2 pont 
G ismerőseinek száma:
 1 pont 

6.
Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!
Válaszát tizedes tört alakban adja meg!
 4x = 8
x (két tizedesre) =
 2 pont 

7.
7. Adja meg a [–3; 1] zárt intervallumon értelmezett x ↦ |x| függvény értékkészletét!
ÉK = []
 2 pont 

8.
Máté ebben a tanévben hat dolgozatot írt matematikából.
A dolgozataira kapott osztályzatok mindegyike egész szám (1, 2, 3, 4 vagy 5).
A hat osztályzat között csak egy 3-as van, az osztályzatok átlaga pedig 4,5.
Adja meg ezt a hat osztályzatot!
3;
 2 pont 

9.
Az ábrán egy, a [-1;4] zárt intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható.
Válassza ki a felsoroltak közül a függvény hozzárendelési szabályát!

A: x ↦ (x - 2)² + 1
B: x ↦ (x - 2)² - 1
C: x ↦ (x + 2)² + 1
D: x ↦ (x + 2)² - 1
 2 pont 

10.
Adja meg az alábbi adathalmaz móduszát, mediánját és terjedelmét!
 2; 6; 6; 6; 6; 6; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5
A módusz =
 1 pont 
A medián =
 2 pont 
A terjedelem =
 1 pont 

11.
Adja meg azt a tompaszöget, amelynek a szinusza 0,5.
α ≈ °
 2 pont 

12.
Egy mértani sorozat második tagja 5, ötödik tagja 40.
Határozza meg a sorozat első tagját!
Megoldását részletezze!
q³ =
 2 pont 
q =
 1 pont 
a1 =
 1 pont 


Matematika középfokú érettségi (2018.május)

NÉV:
EREDMÉNYEK:
Feladat Max pont Elért pont Paraméterek Bemenet
1. 2
2. 2
3. 2
4. 3
5. 3
6. 2
7. 2
8. 2
9. 2
10. 4
11. 2
12. 4
Össz. 30 - -






Bejegyezte: dátum:
Feliratkozás: Bejegyzések (Atom)