2020. május 5. Matematika -középszint 2.rész
13.
a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!
| x² -4x + 4 | = 2 |
| x² - 4 |
Megoldás:
1. Kikötés:
≠ 0
2. Egyenletrendezés:
... |Nevezővel való beszorzás
... |Zárójelfelbontás
... |nullára redukálás
(A négyzetes tag legyen pozitív szám!)
·x² + ·x + = 0
3. Megoldás megoldóképlettel:
x1 = (kisebb szám, ha kell két tizedesre kerekítve)
4. Ellenőrzés:
Az x1 megfelelő megoldás-e?
Az x2 megfelelő megoldás-e?
1. Kikötés:
≠ 0
1 pont
2. Egyenletrendezés:
... |Nevezővel való beszorzás
... |Zárójelfelbontás
... |nullára redukálás
(A négyzetes tag legyen pozitív szám!)
·x² + ·x + = 0
2 pont
3. Megoldás megoldóképlettel:
x1 = (kisebb szám, ha kell két tizedesre kerekítve)
1 pont
x2 =
(nagyobb szám)
1 pont
4. Ellenőrzés:
Az x1 megfelelő megoldás-e?
Az x2 megfelelő megoldás-e?
1 pont
Legyenek
f, g és h függvények a valós számok halmazán értelmezve úgy, hogy
f(x) = log x,
g(x) = x² − 3,
h(x) = x – 1 .
b) Adja meg annak a függvénynek a betűjelét,
amely a (–2)-höz (–1)-t rendel!
Megoldás:
2 pont
c) Töltse ki az alábbi táblázatot az „igaz” és „hamis” szavakkal annak megfelelően,
hogy az adott kijelentés igaz vagy hamis az adott függvény esetén!
| van zérushelye | monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon | van minimuma | |
| f | |||
| g | |||
| h |
5 pont
14.
A 2016-os nyári olimpiai játékok női súlylökés versenyszámának döntője alapján készültaz alábbi,
hiányosan kitöltött táblázat, amely az első öt helyezett dobásainak hosszát mutatja.
Egy adott versenyző eredménye az érvényes dobásai közül a legnagyobb.
A táblázatban az × az érvénytelen dobást jelzi.
Egy adott versenyző eredménye az érvényes dobásai közül a legnagyobb.
A táblázatban az × az érvénytelen dobást jelzi.
| Név (ország) | 1. dobás(m) | 2. dobás(m) | 3. dobás(m) | 4. dobás(m) | 5. dobás(m) | 6. dobás(m) | Eredmény(m) | Helyezés |
| Valerie Adams Új-Zéland | 19,79 | 20,42 | 19,80 | × | × | 20,39 | ||
| Michelle Carter Egyesült Államok | 19,12 | 19,82 | 19,44 | 19,87 | 19,84 | 20,63 | ||
| Kung Li-Csiao Kína | 18,98 | 19,18 | × | × | × | 19,39 | ||
| Márton Anita Magyarország | 17,60 | 18,72 | 19,39 | 19,38 | 19,10 | 19,87 | ||
| Raven Saunders Egyesült Államok | 18,88 | × | × | × | × | 19,35 |
a) Töltse ki a táblázat tíz üres mezőjét!
3 pont
b) Számítsa ki Márton Anita hat dobásának átlagát és szórását!
Megoldás:
(Eredményeket két tizedes pontossággal kell megadni!)
1. Átlag:
(Eredményeket két tizedes pontossággal kell megadni!)
1. Átlag:
1 pont
2. Szórás:
2 pont
A súlylökés, mint versenyszám hivatalos leírásában ez szerepel:
„A súlylökés a nőknél 4 kg-os, vasból vagy sárgarézből készült, gömb alakú, tömör fémgolyóval történik, melynek átmérője nagyobb, mint 9,5 cm, de kisebb, mint 11 cm.”
„A súlylökés a nőknél 4 kg-os, vasból vagy sárgarézből készült, gömb alakú, tömör fémgolyóval történik, melynek átmérője nagyobb, mint 9,5 cm, de kisebb, mint 11 cm.”
c) Hány centiméter a sárgarézből készülő 4 kg-os golyó átmérője,
ha 1 cm³ sárgaréz tömege 8,73 gramm?
Megoldás:
1. Tömeg = g
1. Tömeg = g
1 pont
2. Térfogat =
cm³
1 pont
3. Sugár =
cm
3 pont
4. Átmérő =
cm
1 pont
15.
Egy textilgyár felmérést készített, hogy a vásárlói igényeknek megfelelő arányban gyárthassale törölközőit.
Megkérdeztek 500 járókelőt arról, hogy négy lehetséges szín közül melyik színben vásárolnának legszívesebben ilyen törölközőt.
Az alábbi táblázatban láthatóa felmérés eredménye.
A gyár a válaszoknak megfelelő arányban határozta meg az egyes színekből készülő törölközők darabszámát.
Megkérdeztek 500 járókelőt arról, hogy négy lehetséges szín közül melyik színben vásárolnának legszívesebben ilyen törölközőt.
Az alábbi táblázatban láthatóa felmérés eredménye.
| kék | sárga | piros | zöld | |
| válaszok száma | 176 | 153 | 124 | 47 |
A gyár a válaszoknak megfelelő arányban határozta meg az egyes színekből készülő törölközők darabszámát.
a) Számítsa ki, hogy hány kék, sárga, piros, illetve zöld törölközőt gyártottak,
ha összesen 10 000 darab készült!
A darabszámokat százasokra kerekítve adja meg!
A darabszámokat százasokra kerekítve adja meg!
Megoldás:
1. Kerekítés nélkül:
1. Kerekítés nélkül:
| kék | sárga | piros | zöld | |
| válaszok száma |
2 pont
2. Kerekítve: | kék | sárga | piros | zöld | |
| válaszok száma |
1 pont
Négy kék, két sárga és egy piros törölköző közül (visszatevés nélkül) véletlenszerűen kiválasztunk
2-t.
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét törölköző kék lesz?
Megoldás:
k =
k =
1 pont
n =
1 pont
p =
%
1 pont
A textilgyárban dolgozók között tavaly háromszor annyi nő volt, mint férfi.
Idén felvettek még 70 nőt és 6 férfit, így már négyszer annyi nő dolgozik a gyárban, mint férfi.
c) Hány nő és hány férfi dolgozója van a gyárnak idén?
Megoldás:
Jelölje a gyárban tavaly dolgozó férfiak számát x.
1. Egyenlet:
= 3x + 70
Idén férfi
(És ezek az adatok megfelelnek a feltételeknek.)
Jelölje a gyárban tavaly dolgozó férfiak számát x.
| férfiak száma | nők száma | |
| tavaly: | x | 3x |
| idén: |
= 3x + 70
2 pont
2. x =
1 pont
3. Megoldás: Idén férfi
1 pont
és nő dolgozott a gyárban.(És ezek az adatok megfelelnek a feltételeknek.)
1 pont
2020. május 5 Matematika -középszint 3. rész
A 16 – 18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőtkell megoldania,
a kihagyott feladat sorszámát egyértelműen jelölje meg!
A NEM VÁLASZTOTT FELADAT SORSZÁMA:
16.
Egy háromszög csúcsai a koordináta-rendszerben
A(–8; –12),
B(8; 0) és
C(–1; 12).
Az A pontnak a B pontra vonatkozó tükörképe a D pont.
Az A pontnak a B pontra vonatkozó tükörképe a D pont.
a) Számítsa ki a D pont koordinátáit!
Megoldás:
1. A B pont első koordinátája x-szel nagyobb, mint az A pont első koordinátája,
tehát a D pont első koordinátája is x-szel nagyobb, mint a B első koordinátája.
x =
tehát a D pont második koordinátája is y-nel nagyobb, mint a B második koordinátája.
y =
D = ()
1. A B pont első koordinátája x-szel nagyobb, mint az A pont első koordinátája,
tehát a D pont első koordinátája is x-szel nagyobb, mint a B első koordinátája.
x =
1 pont
2. A B pont második koordinátája y-nal nagyobb, mint az A pont második koordinátája, tehát a D pont második koordinátája is y-nel nagyobb, mint a B második koordinátája.
y =
1 pont
3. Tehát a D pont koordinátái: D = ()
1 pont
b) Írja fel az ABC háromszög B csúcsán áthaladó magasságvonalának egyenletét!
Megoldás:
1. A B csúcson átmenő magasságvonal egyik normálvektora:
n ()
(Bevitel: pl. e:2x-4y=8)
e:
1. A B csúcson átmenő magasságvonal egyik normálvektora:
n ()
2 pont
2. Az egyenes egyenlete: (Bevitel: pl. e:2x-4y=8)
e:
2 pont
c) Igazolja, hogy az ABC háromszög B csúcsánál derékszög van!
Megoldás:
1. A háromszög oldalainak hossza:
AB =
AC =
BC =
A. A háromszögre teljesül a Pitagorasz-tétel, ezért a háromszög valóban derékszögű.
B. A háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-tétel, ezért a háromszög nem derékszögű.
Melyik állítás igaz?
1. A háromszög oldalainak hossza:
AB =
AC =
BC =
2 pont
2. Állítások: A. A háromszögre teljesül a Pitagorasz-tétel, ezért a háromszög valóban derékszögű.
B. A háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-tétel, ezért a háromszög nem derékszögű.
Melyik állítás igaz?
2 pont
Az A, B és C pontokat szeretnénk a kék, zöld és sárga színekkel színezni úgy,
hogy mindhárompontot színezzük valamelyik színnel, de egy színezésen belül nem használjuk fel mindhárom színt.
d) Hány különböző színezés lehetséges ezekkel a feltételekkel?
Megoldás:
1. Három pontot három színnel -féleképpen lehet kiszínezni.
1. Három pontot három színnel -féleképpen lehet kiszínezni.
2 pont
2. Ezek között
olyan színezés van, amikor a három pont különböző színű.
2 pont
3. A lehetséges színezések száma =
2 pont
17.
Egy erdészetben azt tervezték, hogy 30 nap alatt összesen 3210 fát ültetnek el úgy,
hogy a második naptól kezdve minden nap 2-val/-vel több fát ültetnek el, mint az azt megelőző napon.
a) Hány fát kellett elültetni az első napon, és hány fát kellett elültetni a
30. napon a terv teljesítéséhez?
Megoldás:
(Adatbevitel: a1 = a1, szóközt ne használjunk, * = szorzásjel.)
1. d =
= 3210
(Adatbevitel: a1 = a1, szóközt ne használjunk, * = szorzásjel.)
1. d =
1 pont
2. S30 = = 3210
1 pont
3. a1 =
2 pont
4. A 30. napon pedig
fát kellett elültetni a terv teljesítéséhez.
1 pont
A telepítés után egy évvel három szempontból vizsgálják meg a telepített fák állapotát.
Ha valamelyik nem fejlődik megfelelően, akkor az N jelet kapja.
Ha fertőző betegség tünetei mutatkoznak rajta, akkor a B jelet, ha pedig valamilyen fizikai kár érte (pl. a szél megrongálta), akkor az F jelet kapja.
Egy fa több jelet is kaphat.
Az összes jelölés elvégzése és összesítése után kiderült, hogy a telepített 3210 fa közül N jelet 45, B jelet 30, F jelet 20 fa kapott.
Ezeken belül N és B jelet 21, N és F jelet 13,B és F jelet 4 fának adtak.
2 olyan fa van, amely mindhárom jelet megkapta.
Ha valamelyik nem fejlődik megfelelően, akkor az N jelet kapja.
Ha fertőző betegség tünetei mutatkoznak rajta, akkor a B jelet, ha pedig valamilyen fizikai kár érte (pl. a szél megrongálta), akkor az F jelet kapja.
Egy fa több jelet is kaphat.
Az összes jelölés elvégzése és összesítése után kiderült, hogy a telepített 3210 fa közül N jelet 45, B jelet 30, F jelet 20 fa kapott.
Ezeken belül N és B jelet 21, N és F jelet 13,B és F jelet 4 fának adtak.
2 olyan fa van, amely mindhárom jelet megkapta.
b) Töltse ki az alábbi halmazábrát a megfelelő adatokkal!
Állapítsa meg, hogy hány olyan fa van a telepítettek között, amelyik nem kapott semmilyen jelet!
Megoldás:
1. A halmazábra kitöltése:
1. =
2. =
3. =
4. =
5. =
6. =
7. =
8. =
1. A halmazábra kitöltése:
1. =
2. =
3. =
4. =
5. =
6. =
7. =
8. =
4 pont
2. Összesen
fa kapott valamilyen jelölést.
1 pont
3. Így
fa nem kapott semmilyen jelölést a telepítettek között.
1 pont
Egy erdő faállománya az elmúlt időszakban évről évre 3%-kal növekedett.
A faállomány most 10 000m³.
c) Hány év múlva éri el az erdő faállománya a 16 000 m³-t,
ha az továbbra is évről évre 3%-kal növekszik?
Megoldás:
1. Egy év alatt a faállomány -szorosára változik.
x =
1. Egy év alatt a faállomány -szorosára változik.
1 pont
2. Egyenlet: x =
2 pont
3. x (egy tizedesre kerekítve) =
2 pont
4. Tehát kb.
év múlva éri el a faállomány a 16 000 m³-t.
1 pont
18.
Egy sétálóutca díszburkolatát ötszög alapú egyenes hasábalakú kövekkel készítik el.
(Az ábrán négy ilyen követ lehetlátni a burkolaton megfigyelhető elrendezésben.)
A kő alapját képező ABCDE ötszög tengelyesen szimmetrikus (egy, a D csúcson átmenő egyenesre),
négy oldala 10 cm hosszú, három szöge 120°-os, az ábrának megfelelően.
(Az ábrán négy ilyen követ lehetlátni a burkolaton megfigyelhető elrendezésben.)
A kő alapját képező ABCDE ötszög tengelyesen szimmetrikus (egy, a D csúcson átmenő egyenesre),
négy oldala 10 cm hosszú, három szöge 120°-os, az ábrának megfelelően.
a) Számítással igazolja, hogy az AED és a BCD háromszög derékszögű!
Megoldás:
1. Az ötszög belső szögeinek összege °
1. Az ötszög belső szögeinek összege °
1 pont
2. Az ötszög hiányzó szögei
°-ak.
1 pont
b) Számítsa ki az ABCDE ötszög területét!
Megoldás:
1. x (3 tizedesre) = cm
1. x (3 tizedesre) = cm
1 pont
2. y (ha szükséges, akkor egy tizedesre) =
cm
1 pont
3. A téglalap területe (egész értékre) =
cm²
2 pont
4. Az ötszög területe (egész értékre)=
cm²
2 pont
Róbert egy járdaszakaszt egyedül 20 óra alatt burkolna le ezzel a kővel,
Sándor ugyanazt a munkát egyedül 30 óra alatt végezné el.
c) Mennyi idő alatt végeznek (x), ha együtt dolgoznak?
Megoldás:
1. Egyenlet: x·( + ) = 1
1. Egyenlet: x·( + ) = 1
2 pont
2. x =
óra alatt.
2 pont
Ezt a követ szürke és sárga színben árulják a kereskedésben.
A dobozokon matrica jelzi a dobozban lévő kövek színét.
Átlagosan százból 1 dobozon rossz a matrica:szürke helyett sárga vagy fordítva.
(Ezt tekinthetjük úgy, hogy 0,01 annak a valószínűsége,hogy rossz matrica került a dobozra.)
Péter kiválaszt 21 szürke jelzésű dobozt, és ellenőrzi a dobozokban lévő kövek színét.
A dobozokon matrica jelzi a dobozban lévő kövek színét.
Átlagosan százból 1 dobozon rossz a matrica:szürke helyett sárga vagy fordítva.
(Ezt tekinthetjük úgy, hogy 0,01 annak a valószínűsége,hogy rossz matrica került a dobozra.)
Péter kiválaszt 21 szürke jelzésű dobozt, és ellenőrzi a dobozokban lévő kövek színét.
d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a 21 kiválasztott doboz közül legalább
20 dobozban valóban szürke kő van?
Megoldás:
Alkalmazzuk a binomiális eloszlás képletét: `([n],[k])*p^k*(1-p)^(n-k)`
ahol
n = összes elemek száma
k = kiválasztott jó elemek száma
p = a jó esemény valószínűsége (1-p = a rossz esemény valószínűsége)
pkeresett = p20 + p21
p21: n = 21, k = 21 (21 elemből 21 jó elemet választunk ki).
p20: n = 21, k = 20 (21 elemből 20 jó elemet választunk ki).
1. Annak a valószínűsége, hogy egy adott matricával jelzett dobozban a matricán szereplő színű kő van (jó esemény):
p =
p21 =
p20 =
pkeresett =
Alkalmazzuk a binomiális eloszlás képletét: `([n],[k])*p^k*(1-p)^(n-k)`
ahol
n = összes elemek száma
k = kiválasztott jó elemek száma
p = a jó esemény valószínűsége (1-p = a rossz esemény valószínűsége)
pkeresett = p20 + p21
p21: n = 21, k = 21 (21 elemből 21 jó elemet választunk ki).
p20: n = 21, k = 20 (21 elemből 20 jó elemet választunk ki).
1. Annak a valószínűsége, hogy egy adott matricával jelzett dobozban a matricán szereplő színű kő van (jó esemény):
p =
1 pont
2. Annak a valószínűsége, hogy mind a 21 kiválasztott dobozban szürke kő lesz(4 tizedesre): p21 =
1 pont
3. Annak a valószínűsége, hogy 20 dobozban szürke, egy dobozban sárga színű kő lesz(4 tizedesre): p20 =
2 pont
4. Keresett valószínűség: pkeresett =
1 pont
Matematika középfokú érettségi (2020.május)
NÉV:EREDMÉNYEK:
| Feladat | Max pontszám | Elért pontszám | Paraméterek |
| 13. | 13 | ||
| 14. | 12 | ||
| 15. | 11 | ||
| 16. | 17 | ||
| 17. | 17 | ||
| 18. | 17 | ||
| Össz. | 70 | - |
