16.
Péter matematikatanára az érettségire való felkészülés közben az egyik hétvégére – szorgalmi feladatként – négy függvény ábrázolását tűzte ki a diákoknak.
Péter azt tervezi, hogy ezek közül legalább kettőt meg fog csinálni.
a) Hányféleképpen választhat ki Péter a négy függvény közül legalább kettőt?
(Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha van legalább egy olyan függvény, amelyik az egyik kiválasztásban szerepel, a másikban pedig nem.)
5p
Lehetséges esetek:
1. eset: 4-ből kettőt választ ki.
Lehetőségek száma:
2. eset: 4-ből hármat választ ki.
Lehetőségek száma:
3. eset: 4-ből négyet választ ki.
Lehetőségek száma:
Összes lehetőségszám:
Koordináta-geometria
Egy (a derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolt) lineáris függvény grafikonja átmegy a (12; 7) és a (13; 9) pontokon.
b) Adja meg a lineáris függvény hozzárendelési szabályát x ↦ mx + b alakban!
4p
Az egyenes meredeksége: m = -
=
·12 + b = 7
Az egyenes y tengelymetszete: b =
A függvény hozzárendelési szabálya: x ↦ x +
Ellenőrző ábra:
Koordináta-geometria
c) Írja fel a (12; 7) középpontú, 15 egység sugarú kör egyenletét, és számítsa ki a kör és az y tengely metszéspontjainak koordinátáit!
8p
A kör egyenlete: (x + )² +
(y + )² =
y tengelymetszet esetén: x =
behelyettesítés után: +
(y + )² =
Rendezés után: (y + )² =
Negatív gyök: y + =
→ y1 =
Pozitív gyök: y + =
→ y2 =
Megoldás: A metszéspontok: M1 (;
) és
M2 (;
)
Ellenőrző ábra:
Térgeometria
17.
A szolnoki cukrászdák különleges süteménye a szolnoki habos isler.
A habos isler alsó és felső része egy-egy 0,5 centiméter vastagságú, 6 cm átmérőjű henger alakú tésztalap.
A két tésztalap között pedig 90 ml henger alakú hab található.
a) Hány cm³ a két tésztalap együttes térfogata?
3p
A két tésztalap alapkörének sugara:
R = cm
A térfogata:
V = ·
²· π·
V = cm³
Térgeometria
b) Hány cm a két tésztalap közötti, habbal kitöltött hengeres rész átmérője, ha a sütemény teljes magassága 5 cm?
5p
A habos rész magassága:
m(h) = cm
A habos rész térfogata:
V(h) = 90 ml = cm³
r²·π· =
Ebből r ≈ cm
Ebből d ≈ cm
Valószínűség számítás
Az islereket a készítés utolsó fázisában leöntik csokival.
Néha előfordul, hogy a csoki megdermedéskor megreped, az ilyen islert a cukrászdában nem szolgálják fel.
Annak a valószínűsége, hogy egy isleren a csokimáz megreped 0,03.
Az egyik cukrászdában szerdán 30 islert készítenek.
c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy ezen a napon egyetlen isleren sem reped meg a csokimáz, és így mindet fel lehet szolgálni!
3p
Annak a valószínűsége, hogy egy isleren nem reped meg a csokimáz = p
p =
A keresett valószínűség = ^
=
Halmazok
A cukrászdában szerdánként akciós áron kínálják az islert, a zserbót és a krémest.
Az egyik szerda délelőtt az asztaloknál ülő vendégek összesen 20 rendelést adtak le.
Volt 1 olyan rendelés, amelyben mindhárom sütemény szerepelt, és 2 olyan, amelyikben egyik sem.
A rendelések között 5 olyan volt, amelyben zserbó és krémes is szerepelt, 3 olyan, amelyben zserbó és isler is, és 6 olyan, amelyben isler és krémes is.
9 olyan rendelés volt, amelyben szerepelt zserbó.
Tudjuk, hogy ugyanannyi rendelésben szerepelt krémes, mint amennyiben isler.
d) Hány olyan rendelés volt szerda délelőtt, amelyben a három sütemény közül csak a krémes szerepelt?
6p
Egyik sem =
Mindegyik =
Csak zserbó és krémes =
Csak zserbó és isler =
Csak isler és krémes =
Csak zserbó =
Csak krémes = x
Csak isler = x +
Halmazábra:
2x + =
x =
Gráfok
18.
Egy elektromos autó egyik alkatrészéhez tartozó áramköri elem szemléltethető egy olyan hatpontú gráffal,
melynek hat éle van, és amelyben öt pont fokszáma ismert: 1, 2, 2, 3, 3.
a) Adja meg a hatodik csúcs fokszámát, és rajzoljon fel egy olyan gráfot, amely a feltételeknek megfelel!
4p
ÁBRA:
A csúcsok fokszámának összege =
A hatodik csúcs fokszáma =
Sorozatok
Az elektromos autók által egy feltöltéssel megtehető távolságot az autó hatótávolságának nevezzük.
Ádám egy újságcikkben azt olvasta, hogy míg 2011-ben átlagosan csak 95 km volt egy elektromos autó hatótávolsága,
addig ez az érték 2023-ra 425 km-re nőtt.
Ádám arra kíváncsi, hogy ha a 2011 és 2023 között tapasztalható tendencia folytatódik,
akkor melyik évben éri el az elektromos autók átlagos hatótávolsága az 1000 km-t.
Ehhez két modellt alkot.
Az egyik esetben úgy számol, hogy évről évre ugyanannyival nő az átlagos hatótávolság az előző évihez képest.
b) Ezzel a modellel számolva melyik évben éri el az átlagos hatótávolság az 1000 km-t?
6p
+
·d =
d =
+ (n - 1)·
= 1000
n =
Ezzel a modellel számolva tehát -ben érné el az
1000 km-t az elektromos autók átlagos hatótávolsága.
Sorozatok
A másik esetben úgy számol, hogy évről évre ugyanannyiszorosára nő az átlagos hatótávolság az előző évihez képest.
c) Ezzel a modellel számolva melyik évben éri el az átlagos hatótávolság az 1000 km-t?
7p
·
q^ =
q =
·
^(n - 1) = 1000
n - 1 = log()
n =
Ezzel a modellel számolva tehát -ben érné el az
1000 km-t az elektromos autók átlagos hatótávolsága.
13.
a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 18 ∙ (7x + 96) + 19 ∙ (5x – 56) = 1990 4p
A zárójeleket felbontva:
x +
+
x +
= 1990
Az egyenletet rendezve:
x =
x =
Ellenőrzés:
=
Számelmélet
b) Írja fel az 1896 és az 1956 prímtényezős felbontását, és adja meg az 1896 és az 1956
összes közös (pozitív) osztóját! 5p
1896 = 2^·3^
·
1956 = 2^· 3^
·
A két szám közös osztói (növekvő sorrendben):
;
;
;
;
;
Síkgeometria → Sokszögek
14.
Egy szabályos tízszög egy oldalának hossza 10 cm.
a) Igazolja, hogy a tízszög egy belső szöge 144°-os! 3p
A tízszög belső szögeinek összege:
· 180° =
°
Egy belső szöge:
° :
= 144°
Síkgeometria → Sokszögek
b) Számítsa ki a tízszög területét!
5p
Ábra:
α = °
tg =
/m
amiből m = cm
Egy háromszög területe = cm²
A tízszög területe = cm²
Síkgeometria → Sokszögek
Egy szabályos sokszög átlóinak a száma 2015.
c) Hány oldalú a sokszög? 5p
a megoldandó egyenlet: n*(n-3)/2 =
Az egyenletet nullára rendezve:
n² + n +
= 0
Az egyenlet gyökei:
n1 =
n2 =
A sokszög oldalú (ami megfelel a feladat
feltételeinek).
Egyenletrendszerek
15.
Egy étteremben az üdítőitalok árát deciliterenként adják meg.
Tudjuk, hogy 3 dl almalé és 5 dl baracklé összesen 1010 Ft-ba, 5 dl almalé és 3 dl baracklé pedig 990 Ft-ba kerül.
a) Mennyibe kerül egy dl almalé, és mennyibe egy dl baracklé? 6p
Jelölje az almalé deciliterenkénti egységárát forintban = a,
a baracklé egységárát pedig = b.
Ekkor a feladat szövege alapján:
1. a +
b = 1010 2. a +
b = 990
keresztbeszorzás b együtthatóival:
1. a +
b =
2. a +
b =
kivonás (2.-1.):
a =
Innen a = Ft
1. egyenletből:
b = Ft
Ellenőrzés a szövegbe helyettesítéssel:
2. egyenlet: 5· +
3* =
Valószínűség számítás
Egyik este Anna, Bella és Cili együtt mentek vacsorázni. A vacsorához Anna almalevet,
Bella baracklevet, Cili citromos teát rendelt. A pincér sajnos elfelejtette, hogy ki melyik
üdítőt rendelte, és véletlenszerűen osztja ki nekik a három italt.
b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egyikük sem azt az italt kapja, amit rendelt! 4p
k =
n =
p = %
Statisztika
Az étterem vezetője év végén összesítette, hogy az év során az egyes asztaloknál mennyit
fizettek egy-egy alkalommal a vendégek az üdítőitalokért. Az összesítés után a kapott
adatokat az alábbi sodrófadiagramon ábrázolta.
c) Az alábbi kijelentések a fenti diagramon ábrázolt adatokra vonatkoznak. Állapítsa
meg minden kijelentésről, hogy igaz, hamis, vagy az adatok alapján ezt nem lehet
eldönteni! Tegyen X-et a megfelelő cellába! Válaszait itt nem kell indokolnia.
4p
Igaz
Hamis
Nem lehet eldönteni
-
Az adatok terjedelme 7000 Ft.
A kifizetett összegek átlaga 3500 Ft.
A kifizetett összegek kb. 25%-a legalább 4000 Ft volt.
1. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy
A ⋃ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6},
A ⋂ B = {1; 2} és
A \ B = {3; 4}.
Adja meg az A és B halmazokat elemeik felsorolásával!
A = {}
B = {}
Max p.
Kapott p.
2 pont
2. Egy derékszögű háromszög egyik befogója
24 cm, átfogója
25 cm hosszú.
Hány cm hosszú a másik befogó?
Pitagorasz-tétel:
x² + ² =
²
A másik befogó hossza cm.
Max p.
Kapott p.
2 pont
3. Hány darab négyjegyű, különböző számjegyekből álló (pozitív) páratlan szám alkotható az
1;2;3;4 számjegyekből?
A lehetőségek száma =
··
· =
Max p.
Kapott p.
2 pont
4. Egy kozmetikai cég alkalmazottja az alábbi diagramot készítette a 2022-ben és 2023-
ban általa értékesített termékek mennyiségéről:
A diagram alapján állapítsa meg, igaz-e az az állítás, hogy az alkalmazott 2023-ban
3-szer/-szor annyi terméket értékesített,
mint 2022-ben! Válaszát indokolja!
Az állítás igazságtartalma:
, mert a két érték aránya =
Max p.
Kapott p.
2 pont
5. Adja meg a értékét, ha tudjuk, hogy a1/2 = 4.
a =
Max p.
Kapott p.
2 pont
6. Egy számtani sorozat nyolcadik tagja 6-val/-vel nagyobb, mint a negyedik tagja.
A sorozat hatodik tagja 6.
Számítsa ki a sorozat első 6 tagjának az összegét! Megoldását részletezze!
= a8 - a4 = ·d
d =
A sorozat első hat tagja: ;
;;
;;
S6 = ++
++
+
S6 =
Max p.
Kapott p.
4 pont
7. Hány csúcsa, hány lapja és hány éle van egy 6-szög alapú gúlának?
A csúcsok száma:
A lapok száma:
Az élek száma:
Max p.
Kapott p.
3 pont
8. Egy szám 2-es alapú logaritmusa 6.
Mennyi a szám 2-szeresének/-szorosának a 2-es alapú logaritmusa?
Az eredeti szám = ^
=
A 2-szeresének/-szorosának a logaritmusa: log 2 =
Max p.
Kapott p.
2 pont
9. Egy városban a polgármester-választáson a győztes jelöltre a szavazáson résztvevők
55%-a szavazott, így
10593 szavazatot kapott.
Hányan vettek részt ebben a városban a szavazáson?
x· =
A résztvevők száma =
Max p.
Kapott p.
2 pont
10. Adott az alábbi (a valós számok halmazán értelmezett) öt függvény.
Adja meg közülük azoknak a betűjelét, amelyeknek van zérushelye!
f: x ↦ x² függvénynek van zérushelye?
g: x ↦ 2x
függvénynek van zérushelye?
h: x ↦ 2x + 3
függvénynek van zérushelye?
i: x ↦ |x|
függvénynek van zérushelye?
j: x ↦ 5
függvénynek van zérushelye?
Max p.
Kapott p.
3 pont
11. Balázs magyar irodalomból a következő jegyeket szerezte az első félévben: 1,5,5,5.
Számítsa ki Balázs jegyeinek átlagát és szórását!
A jegyek átlaga:
A jegyek szórása:
Max p.
Kapott p.
3 pont
12. 3 különböző színű szabályos dobókockával egyszerre dobunk.
Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a dobás eredménye 3 különböző szám
lesz! Megoldását részletezze!
k =
n =
p = %
