2005. május 2. rész
EGYENLETEK
13.
Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos² x + 4cos x = 3sin² x.
Megoldás:
1. sin² x + cos² x = 1 alkalmazása: 2p
cos² x + 4cos x = 3( + )
2. másodfokú egyenlet felírása: 1p
új ismeretlen bevezetése: y = cos x
új egyenlet:
y² + y + = 0
a másodfokú egyenlet megoldása:
3. y1 = 1p
4. y2 = 1p
5. cosx = y2 (ÉK-beli érték) megoldása:
x1 = ° + k · ° → x1 = π + k · π
x2 = ° + k · ° → x2 = π + k · π
3p
6. k ∈ 1p
7. cos x = y2 (ÉK-en kívüli érték) megoldása: Van-e megoldás?2p
8. ellenőrzés:
= 1p
Összesen: 12p
cos² x + 4cos x = 3( + )
2. másodfokú egyenlet felírása: 1p
új ismeretlen bevezetése: y = cos x
új egyenlet:
y² + y + = 0
a másodfokú egyenlet megoldása:
3. y1 = 1p
4. y2 = 1p
5. cosx = y2 (ÉK-beli érték) megoldása:
x1 = ° + k · ° → x1 = π + k · π
x2 = ° + k · ° → x2 = π + k · π
3p
6. k ∈ 1p
7. cos x = y2 (ÉK-en kívüli érték) megoldása: Van-e megoldás?2p
8. ellenőrzés:
= 1p
Összesen: 12p
SOROZATOK
14.
Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora az első 150 tag összege?
Megoldás:
d =
1p
a1 = 1p
a150 = 1p
behelyettesítés: S150 = *( + )/2 1p
S150 = 1p
összesen: 5p
a1 = 1p
a150 = 1p
behelyettesítés: S150 = *( + )/2 1p
S150 = 1p
összesen: 5p
SZÁMELMÉLET
Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 25 863. b) Igaz-e, hogy 25 863 számjegyeit tetszőleges sorrendben felírva mindig hárommal osztható számot kapunk?
(Válaszát indokolja!)
Megoldás:
számjegyek összege =
1p
osztható hárommal = 1p
a sorrend felcserélése esetén változik-e az összeg = 1p
összesen: 3p
osztható hárommal = 1p
a sorrend felcserélése esetén változik-e az összeg = 1p
összesen: 3p
c) Gábor olyan sorrendben írja fel 25 863 számjegyeit, hogy a kapott szám néggyel osztható legyen.
Milyen számjegy állhat a tízes helyiértéken?
(Válaszát indokolja!)
Milyen számjegy állhat a tízes helyiértéken?
(Válaszát indokolja!)
Megoldás:
az utolsó hány számjegyből álló számokat kell vizsgálnunk =
1p
összes lehetséges eset felsorolása =
(A számok növekvő sorrendben szerepelnek)
; ; ; ; ; . 2p
a tizes helyiérték lehet = 1p
összesen: 4p
összes lehetséges eset felsorolása =
(A számok növekvő sorrendben szerepelnek)
; ; ; ; ; . 2p
a tizes helyiérték lehet = 1p
összesen: 4p
STATISZTIKA
15.
Egy dolgozatnál az elérhető legmagasabb pontszám 100 volt. 15 tanuló eredményeit tartalmazza a következő táblázat:
| Elért pontszám | 100 | 95 | 91 | 80 | 65 | 31 | 17 | 8 | 5 |
| A dolgozatok száma | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 |
Megoldás:
számtani átlag =
(100*+ 95*+ 91*+ 80*+ 65*+
31*+ 17*+ 8*+ 5*)/ 2p
számtani átlag = 1p
módusz = 1p
medián = 1p
összes: 5p
(100*+ 95*+ 91*+ 80*+ 65*+
31*+ 17*+ 8*+ 5*)/ 2p
számtani átlag = 1p
módusz = 1p
medián = 1p
összes: 5p
b) A dolgozatok érdemjegyeit az alábbi táblázat alapján kell megállapítani!
Ennek ismeretében töltse ki a következő táblázatot!
| Pontszám | Osztályzat |
| 80 – 100 | jeles |
| 60 – 79 | jó |
| 40 – 59 | közepes |
| 20 – 39 | elégséges |
| 0 – 19 | elégtelen |
| Osztályzat | jeles | jó | közepes | elégséges | elégtelen |
| A dolgozatok száma |
Megoldás:
Táblázat kitöltése: 2p
összesen: 2p
összesen: 2p
c) Készítsen kördiagramot az osztályzatok megoszlásáról!
Adja meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek értékét is!
Adja meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek értékét is!
Megoldás:
középponti szögek =
2p
kördiagram =
3p
összesen: 5p
| Osztályzat | jeles | jó | közepes | elégséges | elégtelen |
| A középponti szögek: | ° | ° | ° | ° | ° |
kördiagram =
| Osztályzat | jeles | jó | közepes | elégséges | elégtelen |
| A göngyölített középponti szögek: | ° | ° | ° | ° | ° |
összesen: 5p
NÉV:
JEGY:
| Feladat | Max p | Kapott p |
| 13 | 12 | |
| 14a | 5 | |
| 14b | 3 | |
| 14c | 4 | |
| 15a | 5 | |
| 15b | 2 | |
| 15c | 5 | |
| Összesen: | 36 |
