2006. május 2. rész
EGYENLETEK
13.
Oldja meg a következő egyenleteket:a) 9x − 2⋅3x − 3 = 0
Megoldás:
1. új ismeretlen bevezetése: y = 3^x
a másodfokú egyenlet =
y² + y + = 0 1p
2. az egyenlet gyökei:
y1 =,
y2 = 1p
3. y1 = 3^x megoldása:
x1 = 1p
4. y2 = 3^x megoldása:
x2 = 2p
5. ellenőrzés:
x1 esetén: ,
x2 esetén: = 0. 1p
Összesen: 6p
a másodfokú egyenlet =
y² + y + = 0 1p
2. az egyenlet gyökei:
y1 =,
y2 = 1p
3. y1 = 3^x megoldása:
x1 = 1p
4. y2 = 3^x megoldása:
x2 = 2p
5. ellenőrzés:
x1 esetén: ,
x2 esetén: = 0. 1p
Összesen: 6p
b) sin2 x = 2sin x + 3
Megoldás:
1. nullára redukálás, új ismeretlen bevezetése: sin x = y:
a másodfokú egyenlet felírása:
y² + y + = 0
a másodfokú egyenlet gyökei:
y1 =,
y2 = 1p
2. sin x = y1 megoldása:
x1 = ° + k·°,
x1 = π + k·π k ∈ Z 2p
3. sin x = y2 megoldása:
x2 = 2p
4. ellenőrzés:
x1 esetén: = 0,
x2 esetén: . 1p
Összesen: 6p
a másodfokú egyenlet felírása:
y² + y + = 0
a másodfokú egyenlet gyökei:
y1 =,
y2 = 1p
2. sin x = y1 megoldása:
x1 = ° + k·°,
x1 = π + k·π k ∈ Z 2p
3. sin x = y2 megoldása:
x2 = 2p
4. ellenőrzés:
x1 esetén: = 0,
x2 esetén: . 1p
Összesen: 6p
TÉRGEOMETRIA
14.
Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjának területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területének. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Határozzuk meg az alap magasságát:
A szabályos háromszög magassága = a · = cm 1p
2. Számítsuk ki az alaplap területét:
A háromszög területe = T(hsz) = cm² 2p
3. Határozzuk meg a palást területéből a hasáb magasságát:
A palást területe: 3 · ·m = ·T(hsz) = cm² 2p
m = cm 2p
4. A hasáb térfogatának meghatározása:
V(hasáb) = cm³ 2p
5. A hasáb felszínének meghatározása:
A(hasáb) = 2· + = cm² 3p
összesen: 12p
A szabályos háromszög magassága = a · = cm 1p
2. Számítsuk ki az alaplap területét:
A háromszög területe = T(hsz) = cm² 2p
3. Határozzuk meg a palást területéből a hasáb magasságát:
A palást területe: 3 · ·m = ·T(hsz) = cm² 2p
m = cm 2p
4. A hasáb térfogatának meghatározása:
V(hasáb) = cm³ 2p
5. A hasáb felszínének meghatározása:
A(hasáb) = 2· + = cm² 3p
összesen: 12p
KOMBINATORIKA
15.
A 12. évfolyam tanulói magyarból próbaérettségit írtak. Minden tanuló egy kódszámot kapott, amely az 1, 2, 3, 4 és 5 számjegyekből mindegyiket pontosan egyszer tartalmazta valamilyen sorrendben.
a) Hány tanuló írta meg a dolgozatot, ha az összes képezhető kódszámot mind kiosztották?
Megoldás:
Az összes képezhető kódok száma:
·
·
·
·
=
összes: 3p
összes: 3p
STATISZTIKA
b) Az alábbi kördiagram a dolgozatok eredményét szemlélteti: 
Válaszát foglalja táblázatba, majd a táblázat adatait szemléltesse oszlopdiagramon is!
Megoldás:
| osztályzat | 2 | 3 | 4 | 5 |
| fok | ° | ° | ° | ° |
| fő |
Az oszlopdiagram x tengelyének címkéje:
Az oszlopdiagram y tengelyének címkéje: 2p
összesen: 6p
VALSZÁM
c) Az összes megírt dolgozatból véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy jeles vagy jó dolgozatot veszünk a kezünkbe?
Megoldás:
A 4-es és az 5-ös dolgozatok száma összesen:
1p
A keresett valószínűség: / = % 2p
összesen: 3p
A keresett valószínűség: / = % 2p
összesen: 3p
NÉV:
JEGY:
| Feladat | Max p | Kapott p |
| 13a | 6 | |
| 13b | 6 | |
| 14 | 12 | |
| 15a | 3 | |
| 15b | 6 | |
| 15c | 3 | |
| Összesen: | 36 |
