2012. május 2. rész

2012. május 2. rész

EGYENLETEK

13. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!
a) 5^x+1 + 5^x+2 = 30 5p
1. A hatványozás azonosságok alkalmazása:
5^x· + 5^x· = 30
2. Kiemelés, összevonás:
5^x·( + ) = 30
5^x· = 30
3. Exponenciális egyenlet megoldása:
5^x =
x = log() =
4. Ellenőrzés:
=

b) 3/x - 2/(x + 2) = 1, ahol x ≠ 0 és x ≠ –2 7p
1. Közös nevezővel való keresztbeszorzás, összevonás:
3*() - 2*() = x² +x
*x + = x² + *x
2. Másodfokú egyenlet:
x² +*x + = 0
3. Gyökök meghatározása, ellenőrzés:
x1 =
Ell.: =
x2 =
Ell.: =

---

SÍKGEOMETRIA

14. Az ABC hegyesszögű háromszögben BC = 14 cm, AC = 12 cm, a BCA szög nagysága pedig 40°.
a) Számítsa ki a BC oldalhoz tartozó magasság hosszát! 2p
1. Megfelelő ábra:

2. Szögfüggvény alkalmazása:
Az ATC derékszögű háromszögben
sin cos tg 40° = ma/12
ma = cm

b) Számítsa ki az AB oldal hosszát!
Válaszait cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! 3p
A háromszög kérdéses oldalára a koszinusztételt felírva:
d(AB) = ² + ² -2* * *cos =
d(AB) = cm

Az AB oldal felezőpontja legyen E, a BC oldal felezőpontja pedig legyen D.
c) Határozza meg az AEDC négyszög területét!
Válaszát cm² -ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! 7p
1. Megfelelő ábra:

2. Középvonal azonosítása:
ED = cm
3. A magasság meghatározása:
Az ABC háromszög területe:
T = * * sin = cm²
T = *mb/2
Ebből az AC oldalhoz tartozó mb magasság:
mb = cm
4. Az AEDC trapéz területe:
T(tr) = * ( + )/2 = cm²

---

SOROZATOK

15. Az újkori olimpiai játékok megrendezésére 1896 óta kerül sor, ebben az évben tartották az első (nyári) olimpiát Athénban.
Azóta minden negyedik évben tartanak nyári olimpiát, és ezeket sorszámmal látják el.
Három nyári olimpiát (az első és a második világháború miatt) nem tartottak meg, de ezek az elmaradt játékok is kaptak sorszámot.
a) Melyik évben tartották a 20. nyári olimpiai játékokat? 2p
a20 = + * =

b) Számítsa ki, hogy a 2008-ban Pekingben tartott nyári olimpiának mi volt a sorszáma! 2p
= + (n-1)*
n =

A nyári olimpiák szervezőinek egyik fő bevételi forrása a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel. Rendelkezésünkre állnak a következő adatok (millió dollárban számolva):

Olimpia sorszáma	20.	22.
Bevétel a televíziós jogok értékesítéséből	75	192

Eszter úgy véli, hogy a televíziós jogok értékesítéséből származó bevételek – a 20. olimpiától kezdve – az egymás utáni nyári olimpiákon egy számtani sorozat egymást követő tagjait alkotják.
Marci szerint ugyanezek a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A saját modelljük alapján mindketten kiszámolják, hogy mennyi lehetett a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel a 27. nyári olimpián.
Ezután megkeresik a tényleges adatot, amely egy internetes honlap szerint 1383 (millió dollár).
c) Számítsa ki, hogy Eszter vagy Marci becslése tér el kisebb mértékben a 27. nyári olimpia tényleges adatától! 8p
1. Eszter (számtani sorozatos becslése):
= + 2d
d =
a8 = + 7* = millió dollár
2. Marci (mértani sorozatos) becslése:
= *q²
q =
b8 = * ^7 = millió dollár.
3 Eltérések:
Eszter esetén = millió dollár, Marci esetén = millió dollár.
Eszter Marci becslése tér el kisebb mértékben a tényleges adattól.

NÉV:
JEGY:

Feladat	Max p	Kapott p
13a	5
13b	7
14a	2
14b	3
14c	7
15a	2
15b	2
15c	8
Összesen:	36