2008. május 2. rész
EGYENLETEK
13.
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) lg(x +15)² − lg(3x + 5) = lg20 6p
1. A logaritmus azonosságainak alkalmazása:
lg(x +15)² (3x + 5) = lg20 |monotonitás *nevező
(x +15)² = 20*(3x + 5) |Zfb.
2. Másodfokú egyenlet kialakítása és megoldása:
x² +x + = x +
x² + x + = 0
x1 =
x2 =
Ellenőrzés:
x1 esetén: =
x2 esetén: =
Vagyis
b) 25√x = 5 ⋅ 53√x
6p
1. Az azonos hatványalapok kialakítása:
(5^)^√x = 5^ *5^(3*√x)
2. Hatványozás azonosságainak alkalmazása:
5^(*√x) = 5^( + 3*√x) |monotonitás
*√x = + 3*√x
3. Az egyenlet megoldása:
√x =
Van-e valós megoldás?
1. Az azonos hatványalapok kialakítása:
(5^)^√x = 5^ *5^(3*√x)
2. Hatványozás azonosságainak alkalmazása:
5^(*√x) = 5^( + 3*√x) |monotonitás
*√x = + 3*√x
3. Az egyenlet megoldása:
√x =
Van-e valós megoldás?
KOORDINÁTA-GEOMETRIA
14.
Adott a koordináta-rendszerben az A(9 ;−8) középpontú, 10 egység sugarú kör. a) Számítsa ki az y = −16 egyenletű egyenes és a kör közös pontjainak koordinátáit! 8p
1. A kör egyenletének felírása:
(x +)² + (y + )² =
2. Behelyettesítés:
(x +)² + = |-?
3. Egyenletmegoldás:
(x + )² = |±√
4. negatív gyökvonás:
x + = | +?
x1 =
5. pozitív gyökvonás:
x + = | +?
x2 =
6. megoldás:
A közös pontok: (;-16) és ( ;-16).
b) Írja fel a kör P(1 ;−2) pontjában húzható érintőjének egyenletét!
Adja meg ennek az érintőnek az iránytangensét (meredekségét)! 4p
1. Az AP vektor koordinátáinak meghatározása:
A = (; )
P = (; )
Milyen műveletet alkalmazunk? Kivonást.
AP = (; )
Ez lesz az egyenes
2. Normálvektoros egyenlet felírása:
x + y = * + * = |+?x
3. A meredekség meghatározása:
y = x + |:?
y = x +
m =
Adja meg ennek az érintőnek az iránytangensét (meredekségét)! 4p
1. Az AP vektor koordinátáinak meghatározása:
A = (; )
P = (; )
Milyen műveletet alkalmazunk? Kivonást.
AP = (; )
Ez lesz az egyenes
2. Normálvektoros egyenlet felírása:
x + y = * + * = |+?x
3. A meredekség meghatározása:
y = x + |:?
y = x +
m =
KOMBINATORIKA, SZÁMELMÉLET
15.
15. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával ötjegyű számokat készítünk az összes lehetséges módon (egy számjegyet többször is felhasználhatunk). Ezek között hány olyan szám van,
a) amely öt azonos számjegyből áll; 3p
A lehetőségek száma =
b) amelyik páros;
4p
Az utolsó helyen állhat (nagyság szerinti felsorolás, pontosvesszővel elválasztva):
A lehetőségek száma = * * * * =
Az utolsó helyen állhat (nagyság szerinti felsorolás, pontosvesszővel elválasztva):
A lehetőségek száma = * * * * =
c) amelyik 4-gyel osztható?
5p
A két utolsó helyen állhatnak (nagyság szerinti felsorolás, pontosvesszővel elválasztva):
A lehetőségek száma = * * * =
A két utolsó helyen állhatnak (nagyság szerinti felsorolás, pontosvesszővel elválasztva):
A lehetőségek száma = * * * =
NÉV:
JEGY:
| Feladat | Max p | Kapott p |
| 13a | 6 | |
| 13b | 6 | |
| 14a | 8 | |
| 14b | 4 | |
| 15a | 3 | |
| 15b | 4 | |
| 15c | 5 | |
| Összesen: | 36 |
